Ука­жи­те но­ме­ра пря­мо­уголь­ни­ков, изоб­ра­жен­ных на ри­сун­ках 1−5, при вра­ще­нии ко­то­рых во­круг сто­ро­ны AD по­лу­ча­ет­ся ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся квад­рат.

1)

2)

3)

4)

5)

На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см х 1 см изоб­ражён па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Пря­мые a и b, пе­ре­се­ка­ясь, об­ра­зу­ют че­ты­ре угла. Из­вест­но, что сумма трех углов равна 210°. Най­ди­те гра­дус­ную меру мень­ше­го угла.

Ре­зуль­тат раз­ло­же­ния мно­го­чле­на x (4a − b) + b − 4a на мно­жи­те­ли имеет вид:

Среди точек С(33), D(24), Е(28), F(43), К(12) ко­ор­ди­нат­ной пря­мой ука­жи­те точку, сим­мет­рич­ную точке А(5) от­но­си­тель­но точки В(19).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Точка A на­хо­дит­ся в узле сетки (см.рис).

Если точка B сим­мет­рич­на точке А от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат, то длина от­рез­ка АВ равна:

Среди дан­ных чисел ука­жи­те но­ме­ра чет­ных чисел, если из­вест­но, что число а  — не­чет­ное.

От при­ста­ни од­но­вре­мен­но от­прав­ля­ют­ся по те­че­нию реки катер(I) и про­тив те­че­ния реки мо­тор­ная лодка (II). На ри­сун­ке при­ве­де­ны гра­фи­ки их дви­же­ния. Опре­де­ли­те ско­рость те­че­ния реки (в км/ч), если катер и мо­тор­ная лодка имеют оди­на­ко­вые соб­ствен­ные ско­ро­сти.

Гра­фик урав­не­ния 1,8x − 0,6y  =  a про­хо­дит через точку А(−2; 9). Най­ди­те число a.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

От­ре­зок AB пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке O. Точка M делит от­ре­зок AB в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от точки А. Из точек А, В, M про­ве­де­ны па­рал­лель­ные пря­мые, пе­ре­се­ка­ю­щие плос­кость α в точ­ках A₁, B₁, M₁ со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те длину от­рез­ка ММ₁, если

Со­кра­ти­те дробь

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром а ра­ди­ус опи­сан­ной около него окруж­но­сти равен Най­ди­те длину диа­го­на­ли грани AA₁C₁C, если пло­щадь этой грани равна

Най­ди­те сумму всех на­ту­раль­ных чисел n, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство НОК(n,63)  =  63.

Ука­жи­те но­ме­ра урав­не­ний, ко­то­рые яв­ля­ют­ся рав­но­силь­ны­ми:

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

Точки А и В рас­по­ло­же­ны в узлах сетки (см. рис.) и яв­ля­ют­ся со­сед­ни­ми вер­ши­на­ми квад­ра­та АВСD. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та ABСD.

Сумма кор­ней (ко­рень, если он един­ствен­ный) урав­не­ния равна (равен):

Если в пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 4, а пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния равна 12, то ее объем равен ...

Диа­го­на­ли тра­пе­ции равны 15 и 20. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее сред­няя линия равна 12,5.

Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния, если из­вест­но, что две пер­пен­ди­ку­ляр­ные плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой a и точка A при­над­ле­жит плос­ко­сти (см. рис.).

1.  Любая пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость пе­ре­се­ка­ет пря­мую a.

2.  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

3.  Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти

4.  Любая точка пря­мой a лежит в плос­ко­стях и

5.  Любая пря­мая, ле­жа­щая в плос­ко­сти и пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой a, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти

6.  Любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой a, при­над­ле­жит плос­ко­сти

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 123.

Най­ди­те пе­ри­метр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, мень­шая диа­го­наль ко­то­ро­го равна

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD равна 20. Точки M, N, P, Q  — се­ре­ди­ны его сто­рон. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка между пря­мы­ми AN, BP, CQ, DM.

Функ­ция y  =  f(x) опре­де­ле­на на мно­же­стве дей­стви­тель­ных чисел яв­ля­ет­ся не­чет­ной, пе­ри­о­ди­че­ской с пе­ри­о­дом T  =  10 и при за­да­ет­ся фор­му­лой Най­ди­те про­из­ве­де­ние абс­цисс точек пе­ре­се­че­ния пря­мой y  =  12 и гра­фи­ка функ­ции y  =  f(x) на про­ме­жут­ке [ −13; 7].

Най­ди­те про­из­ве­де­ние кор­ней (ко­рень, если он един­ствен­ный) урав­не­ния

Сфера про­хо­дит через все вер­ши­ны ниж­не­го ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы и ка­са­ет­ся ее верх­не­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те пло­щадь сферы, если пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния приз­мы равна а вы­со­та приз­мы в два раза мень­ше ра­ди­у­са сферы.

Най­ди­те про­из­ве­де­ние наи­боль­ше­го от­ри­ца­тель­но­го и наи­мень­ше­го по­ло­жи­тель­но­го целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Най­ди­те сумму всех трех­знач­ных чисел, ко­то­рые при де­ле­нии на 4 и на 6 дают в остат­ке 1, а при де­ле­нии на 9 дают в остат­ке 4.

Петя за­пи­сал на доске два раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа. Затем он их сло­жил, пе­ре­мно­жил, вычел из боль­ше­го за­пи­сан­но­го числа мень­шее и раз­де­лил боль­шее на мень­шее. Сло­жив че­ты­ре по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та, Петя по­лу­чил число 1521. Най­ди­те все такие пары на­ту­раль­ных чисел. В ответ за­пи­ши­те их сумму.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник ABCD, диа­го­на­ли АС и BD ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, АО  =  9, ОС  =  16, ВО  =  OD  =  12. Вер­ши­на S пи­ра­ми­ды SABCD уда­ле­на на рас­сто­я­ние от каж­дой из пря­мых AB, BC, СD и AD. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды SABCD па­рал­лель­но ее ос­но­ва­нию про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, ко­то­рая делит пи­ра­ми­ду на две части. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 10 · V, где V  — объем боль­шей из ча­стей.